实际操作中MACD起到了钝化一阶导数和二阶导数的作用

　　A   理论公式推导

海外量化学和统计文献显示，MACD实际上是一种鲁棒性更强的一阶导数和二阶导数的估算。在充分解释MACD的量化特性前，我们需要引入一下几个统计学的概念：

平均数（均线），中位数（中位线）

N日的均线计算公式：

N日的中位线计算公式：

人们仅仅熟悉均线，但是中位线却鲜为人知，两者的区别可以由下图简单给出。

图为均线和中位线比较图（塑料指数小时K线）

由上图可以看到，在小时线中均线和中位线的变化轨迹并没有太大的出入，均线和中位线总是在两者稍有偏离后逐步收敛到一起。通过观察收益曲线，我们发现两个系统在固定时间内均创造了大致相同的利润，交易了大致相同的手数。因此可以说，在交易层面上，中位线和均线两者并没有显著的区别。

均线穿越，不完整Theil-Sen估算

均线穿越是技术分析中最被广泛运用的指标，MACD本质也是由此而来。均线穿越的表达公式为：

不完整Theil-Sen估算的方法在Theil(1950abc)当中有详细的解释，其表达公式为：

由上面的经验性验证，我们得知平均数和中位数两者之间并没有显著的不同：

经过公式推导，我们发现长短周期均线的差值约为不完整Theil-Sen估算的5倍，两者的走势基本吻合，偏差极小。另外，只有在均线长短周期相差一倍的情况下，Theil-Sen估算才和均线穿越约等，其他情况皆无法比较。Theil-Sen估算的表达式可以被理解成是一个10日价差的重叠窗口的测算平均值，由于10日价差的观察周期被延长，可以被理解成是一个被钝化了的一阶导数。和以上的单均线策略一样，我们也比较均线交叉和Theil-Sen估算在交易中的表现，指标大于0做多，小于0做空。

两者交易次数和收益也大致相同，因此我们可以做出以下结论：长短周期均线差值和Theil-Sen估算值近似，统计学意义相似。

MACD

通过以上两小节，我们得知，单均线系统和穿越系统均有其背后的统计学意义，并且有严格的理论支撑。

这也解释了为何与均线相关的系统在如今量化模型高度发展的市场仍然占有一席之地。MACD既然是从均线系统衍生发展而来的，那么其本身的统计学意义肯定也是不言而喻。最常见的MACD参数为(12,26,9)，长周期的指数均线EMA(12)减去短周期指数均线EMA(26)构成了DIFF，公式化则为DIFF=EMA(12)-EMA(26)。

由于指数均线EMA在公式推导的过程中过于复杂，我们现在假设所有的EMA均由MA组成方便公式推导，在最后我们再通过MA和EMA的关系图表将MA转换到EMA，关系可见下表。

表为同周期EMA等价MA条件所需参数，<Z:\KT2015\150121c08.tif>

如果EMA的指数遵循上表中的调配方法，不断地随着周期的增长降低指数，我们将会得到一个很近似于同周期MA的均线，两者并无显著区别。而许多交易软件多将指数设计成此形式，所以此处完全可以使用MA代替EMA。继续上面的公式表达方式，我们就有：

此处如用24代替26，可将EMA转换成普通均线的估算误差部分矫正。我们发现DIFF(12,26)实际上约为Theil(12)值的6倍，DIFF具有钝化的一阶导数性质。

由于不完整Theil-Sen估算的滞后性，并且推导过程较长，DEA指标的二阶导数的性质就不在这里展开讨论。

图为交易盈亏曲线图（均线系统，塑料指数小时K线）

图为交易盈亏曲线图（中位线系统，塑料指数小时K线）

　B    实际交易应用

根据上面的讨论结果，我们得知在实际操作中，MACD是起到了钝化一阶导数和钝化二阶导数的作用。多方使用经验表明，钝化的一阶导数在实际操作时可以起到很大的作用，但是由于其钝化的特点，信号的产生总是会落后于实际行情一定时间，这实际上规避了行情振荡时利用敏感指标被反复止损的尴尬，利弊参半。

在钝化二阶导数的应用上，由于本身就是在钝化一阶导数的基础上计算而来，其钝化的效果更加明显，对行情反应非常慢，不建议实际操作中作为参考。技术分析在敏感性和鲁棒性之间永远无法找到平衡点，这些问题要交由历史数据统计来解决。MACD虽然是众多指标中最为有统计和数学意义的指标，但是仍然无法克服这个问题。结合其他指标来辅助MACD可以更加准确的判断行情在统计学上的显著性，RSI本身的统计学性质可以很好地弥补MACD的测量短板。

（作者单位：民生期货）

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