期权价格主要受标的资产价格、波动率、无风险利率、期权剩余到期时间等因素影响，但在实际交易中，投资者往往只注意到合约的盈亏，却不知背后各个影响因素的风险。譬如，一些投资者经常会发生看对方向，然而依旧亏损的情况。希腊字母能刻画期权各个影响因素对期权价格的影响，能让投资者不仅能知其然，还能知其所以然，从而更好地进行风险管理。

本文主要介绍期权希腊字母（Greeks）的相关内容，并介绍其在期权价格收益分解中的应用。

我们知道衍生品价格受多种因素影响，因此可以看成是一个多元函数V（S,K,σ,T,t,r）。

因此，对于任意一个衍生品，可用Taylor展开：

其中，S为标的物价格服从对数正态分布；K为行权价格；σ为波动率；T为到期日；t为当前时刻；r为无风险利率。

若令

则每个希腊字母就可以看成是度量期权头寸某种特定风险。

Delta

Delta表示期权或期权组合对标的资产的敏感性，它表示期权或期权组合价格对标的资产价格的变化率。即定义为期权或期权组合价格V关于标的资产价格S的一阶导数。

因此Delta可表示为期权价格曲线在某一点的斜率。

图为期权价格曲线斜率

本文期权定价均在BS模型的框架下。因此，由Black-Scholes公式可知，看涨期权价格有：C（S,t）=SN(d1 )-e-r(T-t ) KN（d2）

通过推导可以得到：

此外，由看涨、看跌期权平价公式C-P=S-Ke-r（T-t）

得到

即Δcall-Δput=1

图为Delta值随标的资产变化情况

从上面推导和图形中，可以看到看涨期权Delta处于0—1之间，而看跌期权Delta处于-1—0之间，平值看涨期权的Delta为0.5，平值看跌期权的Delta为-0.5。标的资产、行权价、到期日均相同的看涨和看跌期权Delta的差恒为1。

另外，还可以看到标的资产价格越高，那么看涨期权的价格也将越高，这与我们直观上的感受也是相同的。事实上，在Black-Scholes模型的假定下，通过数学推导，还可以发现Delta还表示期权到期行权的概率，或者说合约到期时，期权合约是实值的概率。这可以从另一面——“概率”来帮助我们更深刻地理解期权。例如，平值期权的Delta为0.5，表明随着到期日的临近，该期权最后变为实值的概率为50%。

此外，Delta最为重要的意义是：表示为了对冲期权头寸所需要持有标的资产的头寸。若买入看涨期权，此时的Delta为正，这时候就应该卖出标的资产进行对冲；若卖出看涨期权，此时Delta为负，这时应该买入标的资产进行对冲。若买入看跌期权，这时就应该买入标的资产进行对冲；若卖出看跌期权，这时就应该卖出标的资产进行对冲。

Gamma

Gamma是期权或期权组合价格关于标的资产的二阶导数。因此根据Delta定义，可以得到Gamma还表示Delta关于标的资产的一阶导数。即它表示Delta对标的资产的敏感度，也可以理解为为了保持Delta中性所需要进行Delta对冲的速率。

 

图为Gamma值随标的资产变化情况

从上图中可以看出，当标的资产在期权执行价附近振荡时，Gamma相对较大，所以Delta的变化也较大，这意味着若要保持Delta中性，那么进行对冲将会变得非常的频繁。

下面我们看一下Gamma关于时间的变化。对于看涨期权来说，若我们固定标的资产价格20恒等于执行价20，并且期权剩余期限逐渐减少。可以看到，Gamma会不断增大，并趋向于无穷，会出现著名的“大头针（PinRisk）风险”。但是若固定标的资产价格30大于执行价20，那么随着期权剩余期限的减少，期权被执行的概率接近于100%，此时Delta趋于稳定，Gamma趋向于0。类似地，若固定标的资产价格为10恒小于执行价20，随着期权剩余期限的减少，Gamma也逐渐趋于0。

图为Gamma值随时间变化情况

此外，二阶导在物理中表示加速度的含义。在期权中，类似地，Gamma可以看作期权价格随标的价格变动的加速度。由于Gamma恒为正，因此当标的资产价格上涨时，Delta会加速上行，而当标的资产价格下降时，Delta会减速下降。这种“放大收益、减缓损失”的特点对期权多头来说是有利的。显然，世界上没有免费的午餐，正因为有上述特性，期权的多头需要付出时间价值Theta。

Theta

Theta表示期权或期权组合价格关于时间的变化情况：

对于看涨期权来说，其Theta值恒为负数，所以期权价格随着时间推移会不断下降。对于看跌期权来说，情况些许不同，其Theta并不是恒为负的。事实上，可以证明当标的资产价格远低于执行价时，Theta值是可以正的。

图为Theta值随标的资产变化情况

图为Theta值随时间变化情况

从上图还可以看到平值期权的Theta是最大的。并且随着到期日的临近，其衰减速度会加速，而虚值或实值期权会慢慢趋于0。

图为期权时间价值衰减情况

因此，若投资者认为未来市场处于一个平稳的阶段，这时就可以做卖方赚取时间价值。另外，如果市场处于横盘整理状态，一般情况下，标的资产的波动率将会有所下降，这时卖方还能赚取波动率Vega的收益。

Vega

Vega是期权或期权组合价格对波动率的敏感度：

当波动率升高时，市场的不确定性将增加，标的资产涨到更高价格或跌到更低价格的可能性都将上升，因此无论对于看涨还是看跌期权来说，其价格也将更高。

图为Vega随标的资产变化情况

图为Vega随时间变化情况

从上图可以看到平值期权的Vega值是最大的，深度虚值或实值期权的Vega值接近于0。此外，随着到期日的临近，平值、实值、虚值期权的Vega值都将减小，但平值期权衰减速度会稍慢些。

期权收益分解

在上文中，我们已经介绍各个希腊字母及性质。且有

下面我们用两个例子介绍其在日常风险管理中的应用。

图为希腊字母解析解

我们先看一个“看对方向仍亏损”的例子。

假设当前50ETF价格为3.5。现有一看涨期权，执行价为K=3.5，波动率σ=0.25,剩余到期时间T=30,无风险利率r=0.03。

图为期权收益分解——“看对方向仍亏损”

从表中可以看到当标的上涨1%，波动率下降5%时，期权合约下跌0.0019，出现“看对方向仍亏损”的情况。从希腊字母的分解中可以看到，在方向上Delta的贡献是正的，但是由于隐波下降过大，多头在Vega上损失大于方向上的贡献，因此出现“看对方向仍亏损”。这也提示投资者，在期权隐波高位时，一定要谨慎单边买入期权。

最后我们再看一个Delta中性对冲的例子。

与之前相同，仍假设当前50ETF价格为3.5。现有一看涨期权，执行价为K=3.5，波动率σ=0.25,剩余到期时间T=30,无风险利率r=0.03。

图为期权收益分解——realized vol vs implied vol

若投资者买入一份看涨期权，同时卖出Delta份标的对冲。

从图中可以得到，若标的波动1%，无论标的上涨还是下跌，期权头寸加上对冲头寸最终都是负的。而当标的波动2%，无论标的上涨还是下跌，期权头寸加上对冲头寸最终都是正的。虽然都是Delta中性对冲，但是标的波动幅度不同，一个是赚的，另一个却是亏的。这是什么原因？

当标的波动1%，年化波动率为×0.01=0.158；当标的波动2%，年化波动率为×0.02=0.316。期权隐含波动率为0.25。由于整个头寸Delta为0，因此，无论上涨还是下跌，整个头寸在Delta上的贡献均为0。当标的实际波动率大于隐含波动率时，期权在Gamma上收益大于Theta的损耗，因此总盈亏是正的。而当标的实际波动率小于隐含波动率时，虽然Gamma上仍能赚钱，但小于Theta的损耗，因此最终总盈亏是负的。

从这个例子中可以得到，在Delta中性对冲过程中，当标的实际波动率大于期权隐含波动率，做多Gamma才能赚钱；而当标的实际波动率小于期权隐含波动率时，做空Gamma才能获取收益。（作者单位：方正中期期货）